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\title{\vspace{-4cm}\textbf{河北师范大学数学分析真题}}
\author{宁鑫雨}
\date{\today}
\linespread{1.5}
\definecolor{shadecolor}{RGB}{241, 241, 255}
\newcounter{problemname}
\def\d{\mathrm{d}}
\everymath{\displaystyle}
\newenvironment{problem}{\begin{shaded}\stepcounter{problemname}\noindent\textbf{题目\arabic{problemname}. }}{\end{shaded}}
\newenvironment{solution}{\par\noindent\textbf{解答. }}{\par}
\newenvironment{note}{\par\noindent\textbf{题目\arabic{problemname}的注记. }}{\par}
\pagestyle{plain}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\date{}
\section*{2011年数学分析}
\begin{problem}[本题40分,每题10分]\\
    1)求极限$\displaystyle\lim_{x\to0}x[\frac{1}{x}]$\\
    2)计算积分$\iiint_{V}(x^{2}_{\cdot}+y_{\cdot}^{2}+z^{2})\ d V$\\
    3)求级数$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(n+1)^{2}}{2^{n}}}$的和\\
    4)求$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}x\ d x$
\end{problem}

\begin{problem}[本题10分]
设$f(x)$在$[a,b]$上连续,且$f(a)=f(b)=0$,$f^{\prime}(a)f^{\prime}(b)>0$,则至少有一点$c\in (a,b)$,使得$f(c)=0$.
\end{problem}

\begin{problem}[本题15分]
设
$$
f(x,y)=
\begin{cases}
    \frac{x^2y}{\sqrt{x^4+y^2}},&x^2+y^2\neq0\\
    0,&x^2+y^2=0
\end{cases},
$$
讨论$f(x,y)$在原点处的连续性，偏导数的存在性及可微性.
\end{problem}

\begin{problem}[本题15分]
    1)设$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$是收敛的正项级数,则当$r>\frac{1}{2}$时,级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{a_{n}}}{n^{r}}$;\\
    2)证明级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n^{\frac{n+1}{n}}$发散.
\end{problem}

\begin{problem}[本题10分]
设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续,且$f(x)$不恒等于零,证明:$\int_{a}^{b}f^{2}(x)\ d x>0.$
\end{problem}

\begin{problem}[本题15分]
    设
    $$
    f(x)=
    \begin{cases}
        x^2\sin\frac{\pi}{x},&x<0\\
        A,&x=0,\\
        ax^2+b,&x>0
    \end{cases}
    $$
    其中$A,a,b$为常数,试问$A,a,b$为何值时,$f(x)$在$x=0$处可导,为什么?并求$f^{\prime}(0)$.
\end{problem}

\begin{problem}[本题15分]
    设$f(x)$在$(a,+\infty)$具有二阶连续导数,且$\displaystyle\lim\limits_{x\to a^{+}}f(x)=\displaystyle\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0,$.
    证明：\\
    1)存在$x_{n}\in(a,+\infty)$,使得$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}x_{n}=+\infty$,且$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}f^{\prime}(x_{n})=0$;\\
    2)存在$\xi\in(a,+\infty),$使得$f^{\prime\prime}(\xi)=0.$
\end{problem}

\begin{problem}[本题15分]
    设$f(x)$在有限或无限区间$(a,b)$可导,且$\displaystyle\lim_{x\to a^{+}}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to b^{-}}f(x)$为有限数.证明存在$c\in(a,b)$,使$f^{\prime}(c)=0$
\end{problem} 

\begin{problem}[本题15分]
    证明：$F(x)=\int_{e}^{+\infty}\frac{\cos t\ d t}{t^{x}}$在区间$(1,+\infty)$上连续可微.
\end{problem}

\end{document}